in Barisan dan Deret, Fungsi Kuadrat, SBMPTN 339 Words

Barisan dan Deret (SBMPTN 14 – Kode 584)

Jika untuk setiap bilangan asli n, Ln merupakan luas dataran yang dibatasi oleh sumbu x dan parabola yang melalui titik \displaystyle (0, 4^{1-n}), (-2^{1-n}, 0) dan (2^{1-n}, 0), maka \displaystyle \sum_{n=1}^\infty L_n=...

  1.   \dfrac{32}{21}

  2.   \dfrac{28}{21}

  3.   \dfrac{16}{21}

  4.   \dfrac{16}{9}

  5.   \dfrac{32}{9}

 

Jawab :

Parabola memotong sb x di x_1=-2^{1-n}, x_2=2^{1-n} dan melalui titik (0,4^{1-n}) akan memiliki persamaan (lihat ilustrasi grafik)

\displaystyle \begin{aligned} f(x)&=\frac{4^{1-n}}{-2^{1-n}\cdot 2^{1-n}}(x+2^{1-n})(x-2^{1-n})\\ &=4^{1-n}-x^2 \end{aligned}

150602-2330 latihanmat_blog

Sehingga luas daerah Ln dapat dihitung dengan menggunakan integral tentu

\displaystyle \begin{aligned} \tfrac{1}{2}\cdot L_n &= \int_0^{2^{1-n}} (4^{1-n}-x^2) \:dx \\ &=\left[4^{1-n}x-\frac{1}{3}x^3\right]_0^{2^{1-n}}\\ &=4^{1-n}\cdot 2^{1-n} - \frac{1}{3}(2^{1-n})^3\\ L_n&=2\left[4^{1-n}\cdot 2^{1-n} - \frac{1}{3}(2^{1-n})^3\right] \end{aligned}

Jadi

\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty L_n&=L_1+L_2+L_3+\ldots\\ &=2\left[4^0\cdot 2^0 - \frac{1}{3}(2^0)^3\right]+2\left[4^{-1}\cdot 2^{-1} - \frac{1}{3}(2^{-1})^3\right]+2\left[4^{-2}\cdot 2^{-2} - \frac{1}{3}(2^{-2})^3\right]+\ldots\\ &=\frac{4}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{48}+\ldots \end{aligned}

Bentuk terakhir merupakan deret geometri tak hingga dengan suku pertama 4/3 dan rasio 1/8

\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty L_n&= \frac{\frac{4}{3}}{1-\frac{1}{8}}\\ &=\frac{32}{21} \end{aligned}

Cara Alternatif: :

Perhatikan gambar berikut:

150603-0050 latihanmat_blog

\displaystyle \begin{aligned} \tfrac{1}{2}\cdot L_n &= \frac{2}{3}(2^{1-n})(4^{1-n})\\ L_n&=\frac{4}{3} (2^{1-n})(4^{1-n}) \end{aligned}

Jadi

\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty L_n&= \tfrac{4}{3} (2^{0})(4^{0})+\tfrac{4}{3} (2^{-1})(4^{-1})+\tfrac{4}{3} (2^{-2})(4^{-2})+\ldots\\ &=\frac{4}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{48}+\ldots\\ &=\frac{\frac{4}{3}}{1-\frac{1}{8}}\\ &=\frac{32}{21} \end{aligned}

Jawaban : A

catatan :

Fungsi kuadrat yang memotong sb x di (x_1,0) dan (x_2,0) serta memotong sb y di (0,c) memiliki persamaan
\boxed{~f(x)=\frac{c}{x_1 x_2}(x-x_1)(x-x_2)~}

Deret Geometri tak hingga (konvergen) dengan suku pertama a dan rasio r, dimana |r| < -1
\boxed{~S_\infty=\frac{a}{1-r}~}

150603-0108 latihanmat_blog

Leave a comment